Basiswissen

Die e-Funktion f(x) = e^(x²) kann nicht in geschlossener Form aufgeleitet werden. Die Funktion ist damit nicht „Bronstein integrierbar“^[1]. Anders gesagt: niemand kennt eine elementare Darstellung einer Funktion F(x), die abgeleitet wieder f(x)=e^(x²) gibt. Es gibt lediglich eine Näherungslösung über eine Taylor-Reihe. Eine geschlossene Darstellung, das heißt ein Term dessen exakter Wert mit einer endlichen Anzahl von Rechenschritten berechnet werden kann^[2], ist nicht möglich^[3]. Siehe auch elementare Funktion ↗

Fußnoten

[1] Bronstein integrierbar ist ein scherzhafter Ausdruck dafür, dass im Nachschlagewerk Bronstein eine Stammfunktion F(x) als Aufleitung einer Funktion f(x) angeeben ist. Siehe auch Bronstein integrierbar ↗

[2] Der Bronstein definiert: "Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele Operationen mit der unabhängigen Variablen sowie mit Konstanten vorschreiben. Unter Operation versteht man hier die vier Grundrechenarten, das Potenzieren und Radizieren, das Aufsuchen einer Exponential- oder Logarithmusfunktion sowie das Aufsuchen trigonometrischer oder invers trigonometrischer Funktionen." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 63. Siehe auch Der Bronstein ↗

[3] Der Beweist steht in: Martin Huber: Warum denn ist exp(x² nicht elementar integrierbar? Technikum Winterthur und Universität Zürich. Die Arbeit entstand um das Jahr 1996 (Angabe im Text selbst). Einleitend heißt es: "In jedem Unterricht über Integralrechnung muss die Frage auftauchen, ob denn jede „vernünftige“ Funktion elementar („geschlossesn“) intergriert werden könnte. Dass die Antwort „Nein“ ist, wussten schon Laplace und Liouville." Der Artikel behandelt dann auf rund 30 Seiten die historische Entwicklung und Bedeutung dieses Themas. Unter anderem wird auch ein Beweis vorgestellt, dass e^(x²) nicht elementar aufgeleitet werden kann.